[기초수학] 데이터와 행렬

✔︎ 순서쌍과 벡터(Vector)

데이터는 순서쌍(ordered pair, tuple)으로 표현할 수 있다. 예를 들어, 어떤 사람의 키, 몸무게, 연령, 성별 등은 그 사람에 관한 데이터가 될 수 있고, 이는 다음과 같이 순서쌍으로 나타낼 수 있다. 여기서 키, 몸무게, 연령, 성별 각각은 데이터를 이루는 성분이다.

 

사람	키(㎝)	몸무게(㎏)	연령(세)	성별(1:남성, 2:여성)		데이터 표현
김××	160	80	19	1	→	(160, 80, 19, 1)
이××	170	70	27	2	→	(170, 70, 27, 2)
박××	180	56	30	1	→	(180, 56, 30, 1)

 

특히 성분이 2개(3개)로 이루어진 2차원(3차원) 데이터는 좌표평면(좌표공간)상의 한 점을 나타낸다. 마찬가지로 4차원 이상의 데이터는 우리 눈으로 볼 수 있도록 시각화 할 수 없지만, 고차원 공간 상에 놓인 점이라고 볼 수 있다. 예를 들어, 아래에서 a1, a2를 성분으로 하는 데이터 (a1, a2)는 좌표평면 상의 한 점 A를 나타낸다. 이때 시작점을 원점 O, 끝점을 A로 하는 화살표로 나타낸 것을 벡터(vector)라 하고 

로 표기한다. 그리고 벡터를 이루는 각각의 성분은 하나의 숫자로 이루어져 있는데 이를 스칼라(scalar)라고 한다.

 

 

 

✔︎ 행렬(Matrix)과 텐서(Tensor)

앞서 언급한 어떤 사람의 키, 몸무게, 연령, 성별에 대한 데이터를 하나로 모아 다음과 같이 직사각형 모양으로 배열할 수 있다. 이를 행렬(matrix)이라 한다. 즉, 행렬은 벡터를 여러 개 쌓아서 만든 것으로 이해해도 된다. 이때 가로를 행(row), 세로를 열(column)이라 하고, 행의 개수가 m, 열의 개수가 n인 행렬을 크기가 mxn인 행렬이라고 한다. 따라서 벡터는 1xn 행렬(행벡터) 또는 nx1 행렬(열벡터)로 이해할 수 있다.

       

또한 행렬은 디지털 이미지를 유용하게 나타낼 수 있다. 예를 들어, 디지털 이미지를 확대할 때 나타나는 작은 격자를 픽셀(pixel, 화소)이라 하는데, 각 픽셀에는 이미지의 밝은 정도를 나타내는 숫자가 들어 있다고 볼 수 있다. 그리고 흑백 이미지는 하나의 행렬로 나타낼 수 있고, 컬러 이미지는 빨강(Red), 녹색(Green), 파랑(Blue), 3개의 채널(channel)로 표현되어 행렬이 3차원으로 겹쳐진 Cube 형태의 모양을 갖는다. 이를 3-D 텐서(tensor)라 한다.

 

 

텐서는 데이터를 한군데 모아 놓을 수 있는 저장소인 컨테이너(container)이다. 1-D 텐서가 벡터이고, 2-D 텐서가 행렬이다. 즉, 행렬의 일반화된 모습을 텐서라고 생각할 수 있다.

 

 

✔︎ 행렬 연산 - 곱셈

앞의 행렬의 열의 개수와 뒤의 행렬의 행의 개수가 같아야 한다.

 

 

✔︎ 행렬의 연산 법칙

(1) 전치행렬(transpose matrix) : 행렬 A의 행과 열을 바꾸어 얻어진 행렬을 Aᵀ로 나타낸다. A가 2x3 행렬이면 Aᵀ는 3x2 행렬이 된다.

 

 

(2) 대각선 행렬(diagonal matrix) :  주대각선성분 이외의 모든 성분이 0인 정사각행렬. 

     

 

(3) 단위행렬(identity matrix): 주대각선성분이 모두 1인 대각선 행렬.

 

 

 

 

 

- 단위행렬은 행렬의 곱셈에 대한 항등원 역할을 한다. 

 

(3) 삼각행렬

- 하삼각행렬(lower triangular matrix): 주대각선 위의 모든 성분이 0인 정사각행렬

- 상삼각행렬(upper triangular matrix)은 주대각선 아래의 모든 성분이 0인 정사각행렬

       

     

 

(4) 대칭행렬(symmetric matrix) : Aᵀ = A를 만족하는 정사각행렬

 

      

(5) 역행렬(inverse matrix) :  n×n의 정사각행렬 A에 대하여 다음을 만족하는 행렬 B가 존재하면 A는 가역(invertible, nonsingular).     

  

 

이때 B를 A의 역행렬(inverse matrix)이라고 하며, A⁻¹로 나타낸다. 이러한 B가 존재하지 않으면 A는 비가역(noninvertible) 또는 특이행렬(singular matrix)이라고 한다. n차의 정사각행렬 A, B가 가역이고 k가 0이 아닌 스칼라일 때, 다음이 성립한다.